Martin Cornelis Escher Considerado un revolucionario de las artes gráficas del siglo XX, fue un hombre dedicado al arte y que tenía el deseo de romper las limitaciones que impone el plano, para poder mostrar que un plano es capaz de ilusiones ópticas de gran profundidad, experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 ó 3 dimensiones) mundos imaginarios y espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación, llamando la atención de muchos matemáticos.

Principales características de las obras de Escher son la dualidad (Existencia de dos caracteres o fenómenos distintos en una misma persona o en un mismo estado de cosas.) y la búsqueda del equilibrio, la utilización del blanco y el negro, la simetría, el infinito frente a lo limitado, el que todo objeto representado tenga su contrapartida.

A lo largo de su carrera realizó más de 400 litografías, grabados en madera y también unos dos mil dibujos y borradores. Un grupo importante de ellos está expuesto de forma permanente en el Museo Escher en La Haya- Holanda (lugar donde nació).

Cascada (litografía, 1961).

La ilusión del movimiento perpetuo, siempre es posible en la imagen. Así como la fotografía congela el tiempo perdido, la pintura congela el momento inexistente.

En esta última imagen nos fijamos en la corriente de agua podemos estar siguiéndola de forma continua sin poder llegar al final, en lo que supone un ciclo infinito.

Según Escher, para que esta cascada funcione realmente sólo haría falta «añadir un poco de agua de vez en cuando, para compensar la evaporación».

Después de visitar la mezquita de Córdoba cambió sus obras para hacer aparacer en ellas dibujos matemáticos y por ello tuvo muchas críticas, por lo que dijo: “A pesar de que no tengo ningunos conocimientos ni enseñanzas de matemáticas, habitualmente me parece que tengo más cosas en común con los matemáticos que con mis compañeros artistas”. Si observamos detalladamente alguna de sus obras podemos descubrir su dominio de la geometría.

A Escher le maravillaba todo tipo de teselados(Los teselados son los diseños de figuras geométricas que por sí mismas o en combinación cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse) y especialmente lo que él llamó “metamorfosis”, donde las figuras cambian e interactúan entre sí, y hasta a veces salen del plano.

Pero no es por esto exclusivamente por lo que sus trabajos apasionan a muchos matemáticos, sino también porque en ellos subyacen una serie de conceptos matemáticos como reflexiones, simetrías, traslaciones, cuerpos platónicos, el infinito, cintas de Möebius, geometría hiperbólica, etc. Y sin embargo Escher se consideraba intelectualmente débil en el camp de las matemáticas.

Montesinos (catedrático de la Complutense) explicó que en dos dimensiones hay 17 formas de ordenación de la materia. En tres dimensiones, 230 formas; en cuatro, 4.700; en 5, 12 millones; en seis, 125 millones…

Ciñéndose al plano (17 posibilidades) Montesinos analizó los motivos de la cerámica de la Alhambra y los complejos y simétricos dibujos de Escher, afirmó que existen artefactos que fabrican simetrías y dijo que hay dos, el anillo y la cinta de Möebius.

División espacial cúbica.

Imagínese en uno cualquiera de los cubos que marcan las uniones en este retículo, mientras todas y cada una de las barras que unen los cubos se expanden.
Desde su perspectiva parecería que todo se está alejando de usted, y al principio parecería natural concluir que usted está en una posición especial: el centro de expansión. Pero una reflexión le permite darse cuenta de que la expansión parecería igual en cualquier lugar del retículo en el que usted estuviera; no hay un centro.

La situación es muy similar en nuestro Universo; cada grupo de galaxias parece estar alejándose de nosotros, y pese a todo, los observadores que nos mirasen desde estas estrellas distantes verían la misma ilusión y presumiblemente concluirían que están en el centro de la expansión.

Partición del plano

Fue según sus propias palabras el tema que más le apasionó: “Es la fuente más rica de inspiración que jamás haya encontrado”.

La idea de rellenar el plano con un mismo motivo se considera original suya, no influida por su aprendizaje. Afirmó: “Mucho antes de que, a raíz de visitar la Alhambra, descubriera cuán afín me es el problema de la partición de la superficie, yo había descubierto por mí mismo mi interés por él”.

Ya en 1922 antes de visitar Granada imprime una plancha en la que están representadas ocho cabezas, cuatro al derecho y cuatro al revés.
Después de visitar la Alhambra por primera vez, Escher intentó unos nuevos diseños, de los que se conservan bocetos de 1926, todavía muy rudimentarios.
Tras una segunda visita, esta vez junto con su mujer, en 1936, copió durante varios días motivos allí representados y descubrió un sistema para representar particiones periódicas del plano, consiguiendo descubrir los 17 grupos de simetría planos que figuran en la Alhambra, a pesar de sus rudimentarios conocimientos matemáticos. Pero no se detuvo aquí, sino que además introdujo el color, cosa que nadie había hecho hasta esa fecha.

Escher trabaja básicamente con las figuras geométricas que rellenan el plano (cuadrado y triángulo equilátero) y con las figuras obtenidas a partir de ellos que también rellenan el plano: cuadrados, triángulos equiláteros, paralelogramos y hexágonos. Además trabaja con las redes formadas por estas figuras y sus derivadas. Pero sólo utiliza estas figuras geométricas como punto inicial de sus diseños, va modificando cada una de ellas a su antojo creando una figura patrón que al repetirla encaja con las demás rellenando el plano sin dejar espacios libres.

Esto podemos verlo claramente en la animación anterior, que nos muestra como a partir de un hexágono se obtiene después de unos pasos, la silueta de un reptil, que sirve para la partición del plano que observamos a continuación, que no es sino un boceto del ciclo que aparece al final de esta página: “Reptiles”.

Según el tipo de repetición y forma en que encajan estos patrones estamos ante frisos, si la repetición es en una sola dirección (una especie de tiras donde se repiten los mismos motivos) o mosaicos, si la repetición es en dos direcciones (por ejemplo las baldosas del suelo).

Estos últimos son los menos utilizados por Escher, y tan sólo los usa como bocetos, como parte de otro dibujo o como instrumento para dos temas importantes para él: la metamorfosis y el ciclo.

La metamorfosis consiste en unas figuras que poco a poco se van transformando en otras. Formas indeterminadas y abstractas se van convirtiendo poco a poco en otras formas ya reconocibles, y estas a su vez pueden pasar a otros estadios de la metamorfosis a través de sucesivas transformaciones. Ahora bien, Escher insiste en un tipo de metamorfosis especiales, los ciclos.

El ciclo es básicamente una metamorfosis pero que comienza y termina igual, cerrándose en sí misma toda una etapa. Este tipo de diseños eran de los preferidos por el autor, que gustaba de hacer que los elementos visuales se volviesen sobre sí mismos.

Reptiles

El infinito

En 1959, en un artículo, el propio Escher expresaba lo que le motivaba a representar la idea del infinito: “Nos resulta imposible imaginar que, más allá de las estrellas más lejanas que vemos en el firmamento, el espacio se acaba, que tiene un límite más allá del cual no hay nada. El término vacío todavía nos dice algo, puesto que un espacio determinado puede estar vacío, por lo menos en nuestra imaginación; pero no estamos en condiciones de imaginar algo que estuviese vacío en el sentido de que el espacio deja de existir. Por esta razón, desde que el hombre existe sobre la tierra, desde que está de pie, sentado o acostado, desde que corre, navega, anda a caballo y vuela, nos aferramos a la idea de un más allá, de un purgatorio, de un cielo y de un infierno, de una transmigración y de un nirvana, todos lugares de infinita extensión en el espacio o estados de infinita duración en el tiempo”.

Con la partición regular de la superficie no se ha obtenido todavía la idea del infinito, sino sólo un fragmento de él. Si la superficie fuese infinitamente grande – imposible en nuestra realidad cotidiana – necesitaríamos infinitas partes para cubrirla en su totalidad.

Pero existen otras formas de representar artísticamente el infinito sin necesidad de curvar la superficie. Escher hace varios intentos en esta dirección, al principio muy influido por sus anteriores trabajos sobre particiones regulares del plano. La idea es sencilla, se trata de ir dibujando figuras que encajen entre sí rellenando el plano y que poco a poco van aumentando o disminuyendo de tamaño (según sea el caso) hasta dar la impresión de que hay un número infinito de ellas.

Pero no se trata sólo de una impresión, puesto que disponemos un método, usado por Escher, para encajar un número infinito de figuras en un espacio finito. Basta con tomar objetos cuyas áreas sigan la regla: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … y así sucesivamente. Si sumáramos todas sus áreas tendríamos la expresión: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…..=1, que es una serie convergente de suma la unidad. Con este método podríamos dibujar un número infinito de figuras en una superficie finita.

Podemos ver en la siguiente figura un esbozo de ese método, usado en su diseño “Límite cuadrado”.

Básicamente Escher trabaja con varios tipos de diseños: diseños cuadrados, diseños de espirales, diseños inspirados por Coxeter, cintas de Möebius, figuras imposibles y diseños en tres dimensiones.

Diseños Cuadrados

Su primer trabajo es de 1939 (Evolución II) y en él no tiene todavía muy desarrollada la técnica de la disminución en el tamaño de las figuras. Pero más adelante y conforme la domine nos irá dando muestras de su virtuosismo, como en “Límite cuadrado”.

Evolución II 

Diseños en espiral

Con este tipo de diseños parece que Escher no sólo quiso expresar el infinito, sino también la idea de la transformación continua. Los peces son muy pequeños al nacer y poco a poco se van desarrollando y aumentando de tamaño, hasta que llega un momento en que empiezan a disminuir de nuevo para acabar tal y como comenzaron, pequeños.

Remolino

Diseños inspirados por Coxeter

Escher tuvo conocimiento de las leyes matemáticas a través del libro “Introducción a la Geometría”, de H. Coxeter. En particular observó en dicho libro un mosaico hiperbólico obra de Henri Poincaré que le inspiró la idea de la aproximación al infinito desde un nuevo punto de vista.

Además podemos observar que en los grabados de la familia límite circular las líneas curvas acentúan la impresión de volumen con lo cual parece que estamos viendo una mitad de una esfera, y nuestro cerebro puede imaginar que el dibujo continúa fuera de nuestra visión.

Serpientes (Grabado en madera, 1969.)

Así fue desarrollando esta idea hasta dar con un sistema de construcción propio, que llega a su máximo exponente con el grabado “Serpientes”, en el que ya no se aprecia el mosaico de Poincaré aunque siga estando subyacente.

Cintas de Möebius

Escher trabajó con una aproximación a la idea de cinta de Möebius en su trabajo “Jinetes” mucho antes de conocer expresamente tal estructura topológica. Pero ¿qué es una cinta de Möebius? Es un objeto que se construye a partir de un rectángulo de papel en el que dos extremos se unen pero no de la forma habitual para formar un cilindro, sino girando uno de los lados, como se muestra en la figura.

Estas cintas tienen la propiedad de tener una sola cara y un solo borde, mientras que una cinta normal tiene dos caras y dos bordes. Además al cortarlas longitudinalmente no se separan sino que aparece otra cinta pero con dos vueltas.

Con el uso de cintas de Möebius, Escher quiso también expresar la idea del infinito como un movimiento constante, sin principio ni final.
También llega a trabajar con otras estructuras topológicas, como son los nudos, pero que al fin y al cabo no son sino cintas de Möebius pero originadas a partir de una “cinta” con forma de cilindro o de ortoedro. En todas ellas se sugiere el movimiento sin fin.

Banda de Möbius II (Xilografía, 1963)

Figuras imposibles

En 1958, Penrose ideó una figura imposible a la que denominó “tribar”. Si observamos la imagen se trata aparentemente de un triángulo tridimensional, pero que en realidad es imposible de construir, sólo existe como dibujo.

Escher llegó a conocer este diseño y trabajó a partir de él. Para mostrar todavía mejor su imposibilidad creó varios edificios en los que usó uno o varios “tribar” y en los que tras una observación detenida podemos comprobar la imposibilidad del diseño.

Otro mundo II (1947)

Otro diseño imposible que usó Escher para demostrar el movimiento continuo es el de la escalera de Penrose. Gracias a él creó su famoso “Escaleras arriba, escaleras abajo” (también conocido como “Subiendo y bajando”), donde también nos muestra la idea del movimiento infinito, ya que podemos estar constantemente en marcha pero siempre permaneciendo en el mismo sitio.

Subiendo y Bajando (Litografía 1960)

Figuras en tres dimensiones

Entre ellas también podríamos mencionar los nudos de los que hablamos en el apartado de cintas de Möebius, pero más bien me refiero a las esferas talladas en madera o en marfil, con las que Escher quería mostrar lo que no tiene límite sin necesidad de ser infinito.

Fuente: Las Matemáticas Hechas Arte

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